Klasa 1 - poziom rozszerzony, Suplementy do książek
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Suplementdopodrêcznika
MatematykaI.
Zakrespodstawowyzrozszerzeniem
Trecizmienionelubdodane
numerystron
wstarszychwydaniach
numerystron
wsuplemencie
II
–XIII
4251
73
XIV
–
XVI
9092
XVII
–
XIX
9596
XXI–XXII
178183
XXII–XXXIII
Materia³pochodzizestronywww.gwo.pl/nowe_wersje
Suplement do podręcznika „Matematyka 1. Zakres podstawowy z rozszerzeniem”
II
LICZBY I DZIAŁANIA
10
18
km
3
. Ile to metrów sześciennych?
b)
Powierzchnia Słońca to około 6,07
·
·
10
18
m
2
. Ile to kilometrów kwadratowych?
10
−8
m
3
. Ile to centymetrów sześciennych?
d)
Powierzchnia kropli wody to około 1,6
·
10
−10
mm
2
. Ile to metrów kwadratowych?
·
17.
Które z podanych liczb są liczbami naturalnymi? Ile cyfr mają te liczby? Ile
cyfr przed przecinkiem, a ile po przecinku mają pozostałe liczby?
a
=7,25
·
10
31
c
=5,6
·
10
25
+3,7
·
10
21
e
=7,25
·
10
100
+1,05
·
10
200
−10
10
b
=2,3
10
−14
d
=2,2
·
10
12
+1,87
·
10
−9
f
=6,8
·
10
50
−6,8
·
10
−12
18. a)
Rok świetlny to odległość, jaką w ciągu roku
przebywa światło w próżni. Oblicz i zapisz w notacji
wykładniczej, ile kilometrów ma rok świetlny.
b)
Średnica naszej Galaktyki to około 100 tys. lat
świetlnych. Ile to kilometrów?
Prędkość światła w próż-
ni to około 300 000
km
s
.
19. a)
Ile razy masa Ziemi jest większa
od masy Księżyca?
b)
IlerazyśrednicaSłońcajestwiększa
od średnicy Ziemi?
c)
O ile kilometrów średnica Słońca jest
dłuższa od średnicy Ziemi?
Masa [kg]
Średnica [m]
Słońce
1,9
·
10
30
1,4
·
10
9
Ziemia
5,975
·
10
24
1,28
·
10
7
Księżyc
7,3
·
10
22
7,0
·
10
6
Pierwiastki
Ćwiczenie A.
a) Podaj liczby, których druga potęga jest równa:
25
4
49
0,01
1,21
1
0
b) Podaj liczby, których trzecia potęga jest równa:
27
−
8
125
0,064
−1
1
0
Dla danej liczby dodatniej
a
istnieją dwie liczby,
które podniesione do kwadratu są równe
a
.Pier-
wiastkiem kwadratowym z liczby
a
jest ta z tych
liczb, która jest dodatnia. Pierwiastkiem kwadrato-
wym z liczby 0 jest 0, a pierwiastek kwadratowy
z liczby ujemnej nie istnieje. Dla dowolnej liczby
rzeczywistej
a
jest tylko jedna liczba, która podnie-
siona do trzeciej potęgi jest równa
a
.Taliczbato
pierwiastek trzeciego stopnia z liczby
a
.
Dla
a
≥0:
√
a
=
b
,gdy
b
≥0 i
b
2
=
a
Dla dowolnej liczby
a
:
√
a
=
c
,gdy
c
3
=
a
16.
Odpowiedzi na podane pytania zapisz w notacji wykładniczej.
a)
Objętość Słońca to około 1,41
c)
Objętość kropli wody to około 4,5
·
3
Suplement do podręcznika „Matematyka 1. Zakres podstawowy z rozszerzeniem”
PIERWIASTKI
III
Zauważ, że pierwiastek trzeciego stopnia z liczby nieujemnej jest liczbą nieujemną,
a pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej jest liczbą ujemną.
Analogicznie możemy również określać pierwia
s
tki wyższych stopni. Pierwiastek
stopnia
n
zliczby
a
oznaczamy symbolem
√
a
. Stopień pierwiastka jest liczbą
naturalną większą od 1.
Jeśli
k
jest liczbą naturalną większą od
1 i jest liczbą parzystą, to dla
a
≥0
przyjmujemy, że:
Jeśli
m
jest liczbą naturalną większą od
1 i jest liczbą nieparzystą, to dla do-
wolnej liczby
a
przyjmujemy, że:
√
a
=
b
,gdy
b
k
=
a
i
b
≥0
√
a
=
b
,gdy
b
m
=
a
m
Zauważ, że pierwiastek nieparzystego stopnia może być liczbą ujemną, a pierwiastek pa-
rzystego stopnia jest zawsze liczbą nieujemną.
Ćwiczenie B.
Oblicz:
a)
√
64
2
1
4
6,25
12,25
c)
√
16
0,000064
6
1
2
6
0,2
5
3
64
125
3
8
−27
b)
√
27
√
8
0,001
d)
√
−1000
−0,00032
√
−1
Ćwiczenie C.
Oblicz:
√
8
2
(−8)
2
√
17
4
(−17)
4
0,5
6
(−0,5)
6
Z
au
waż, że
(−5)
2
wynosi 5, a nie −5. Ogólnie, jeśli chcemy uprościć wyrażenie
√
a
2
,
√
a
4
,
√
a
6
itd., a nie wiemy, jaki jest znak liczby
a
, musimy użyć symbolu wartości bezwzględnej:
√
a
2
=
6
|
a
|
,
√
a
4
=
|
a
|
,
√
a
6
=
|
a
|
itd.
Prawa działań na pierwiastkach
Dla parzystej liczby
k
:
Dla nieparzystej liczby
m
:
√
a
k
=
|
a
|
√
a
m
=
a
√
ab
=
√
a
·
√
b
dla
a
≥0i
b
≥0
√
ab
=
√
a
·
√
b
k
a
b
=
√
a
k
m
a
b
=
√
a
m
√
b
dla
a
≥0i
b
>0
√
b
dla
b
=0
√
a
t
=
√
a
t
dla
a
≥0
√
a
t
=
√
a
t
m
√
−
a
=−
m
√
a
n
k
4
6
5
3
3
3
7
3
5
4
4
6
6
4
4
6
k
m
k
k
m
m
k
m
k
m
k
m
Suplement do podręcznika „Matematyka 1. Zakres podstawowy z rozszerzeniem”
IV
LICZBY I DZIAŁANIA
Ćwiczenie D.
Niech
n
będzie dodatnią liczbą parzystą. Równość
√
ab
=
√
a
·
√
b
dla
a
≥0
i
b
≥ 0 można wykazać w następujący sposób.
Przyjmijmy oznaczenia:
√
a
=
x
i
√
b
=
y
.
Stą:
a
=
x
n
i
b
=
y
n
.
Zatem:
√
ab
=
x
n
·
y
n
=
(
xy
)
n
=
|
xy
|
.
Z założeń wynika, że
x
≥0i
y
≥0,więc
|
xy
|
=
xy
,czyli
√
ab
=
xy
=
√
a
·
√
b
.
Uzasadnij w analogiczny sposób jedno z pozostałych praw działań.
Prawa działań na pierwiastkach pozwalają upraszczać niektóre wyrażenia.
przykłady
(2
√
6)
3
=2
3
·
(
√
6)
3
=8
·
6=48
√
2
·
√
−4 =
√
−8=−2
√
2
10
=
(2
5
)
2
=2
5
=32
1
3
4
:
√
7=
7
4
:7=
1
4
=
1
2
Niektóre pierwiastki można zapisać w postaci iloczynu dwóch liczb, z których jed-
na jest liczbą wymierną, a druga jest liczbą niewymierną. Mówimy wówczas, że
wyłączamy czynnik przed symbol pierwiastka. Możemy także wykonać operację
odwrotną — włączyć czynnik pod pierwiastek.
przykłady
√
20 =
√
4
·
5=2
√
5
·
12 = −3
√
12
3
√
5=
√
9
·
√
5=
√
45
2
√
−100 = −
√
8
·
100=−
√
800
√
27
·
2=3
√
2
√
1575 =
√
5
2
3
·
3
2
·
7=5
·
3
√
7=15
√
7
Wyniki działań na pierwiastkach staramy się niekiedy zapisywać w taki sposób,
aby w mianowniku nie występowała liczba niewymierna (mówimy, że usuwamy
niewymierność z mianownika).
przykłady
6
√
2
=
6
·
√
2
√
2
·
√
2
=
6
√
2
2
=3
√
2
5
2
√
3
=
2
√
3
·
√
3
·
√
3
·
√
3
√
3
=
5
√
9
6
3
3
Uwaga. W jednym z następnych rozdziałów pokażemy, jak można usuwać niewymierność,
gdy wyrażenia w mianowniku są nieco bardziej skomplikowane.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3
3
3
√
−324 = −
√
3
3
3
√
54 =
3
5
·
Suplement do podręcznika „Matematyka 1. Zakres podstawowy z rozszerzeniem”
PIERWIASTKI
V
zadania
Ćwiczenia str. 15–16
1.
Oblicz:
a)
√
36+64
c)
√
16
e)
3
0,000 001
g)
3
(−8)
2
b)
3
12
2
−144
d)
√
15
2
−12
2
f)
3
√
−64
h)
3
1
81
2.
Znajdź liczby oznaczone literami:
√
a
=0,2
√
b
=−1
3
√
c
=3
2
√
d
=3
√
2
3
√
e
=
√
3
2
f
=
√
12
0
√
g
=
2
√
4
2
3.
Oblicz:
a)
√
3
·
√
27
c)
5
√
2
2
e)
√
6
·
√
2
·
√
3
g)
1
3
√
−7
·
√
7
2
b)
√
320 :
√
5
d)
(2
√
2)
3
6
f)
6
√
5
·
3
√
125
h)
2
√
25
·
8
√
5
2
4.
Zapisz w jak najprostszej postaci:
a)
3
√
7−12
√
7
c)
√
7−2
√
−7
5
e)
2
√
5
·
4
√
3
g)
8
√
16
16
√
8
b)
√
9−2
√
9
d)
√
−6 +
3
√
6
f)
2
√
3
·
3
√
−2
h)
2
√
30
√
5
5.
Oblicz:
(5
3
)
2
(0,1
2
)
3
√
11
4
√
2
10
(7
2
)
3
3
√
9
6
√
2
12
3
6.
Zapisz w postaci potęgi liczby 7:
√
7
16
7
√
7
12
(7
√
7)
2
7
√
7(
√
7)
2
7
√
7
6
2
7
3
√
49
·
√
7
4
7.
Na osi liczbowej zaznaczono liczby:
10
√
3
√
2
√
27
√
25
√
60
√
130
Oszacuj te liczby i przyporządkuj każdej z nich odpowiednią literę.
3
3
1
3
4
5
3
1
6
6
3
3
3
1
3
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]