Klasa 2 - poziom rozszerzony, Suplementy do książek
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Suplementdopodrêcznika
MatematykaII.Zakresrozszerzony
Trecizmienionelubdodane
numerystron
wstarszychwydaniach
numerystron
wsuplemencie
245
II
258
III
259
IV
Materia³pochodzizestronywww.gwo.pl/nowe_wersje
Suplement do podręcznika „Mateamatyka II. Zakres rozszerzony”
II
Szeregigeometryczne
Pola zamalowanych figur tworzą ciąg sum
n
początkowych wyrazów pewnego ciągu
geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na sumę
n
początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,
otrzymujemy:
1−
3
n
1−
3
S
n
=
3
·
Gdybyśmy mogli zamalowywać kolejne figury w nieskończoność, to otrzymaliby-
śmy figurę o polu równym:
3
+
9
+
1
27
+
...
Przyjmujemy, że taka nieskończona suma
jest równa lim
n
S
n
.
→∞
Ponieważ przy
n
dążącym do nieskończoności wyrazy ciągu
3
n
zbliżają się do 0,
więc zamalowane pole byłoby równe:
lim
n
⎛
⎝
3
·
1−
3
n
1−
3
⎞
⎠
=
3
·
1
2
3
=
1
2
→∞
Powyżej obliczyliśmy sumę wszystkich wyrazów pewnego nieskończonego ciągu
geometrycznego. W podobny sposób moglibyśmy obliczać sumę wyrazów dowolne-
go ciągu geometrycznego nieskończonego.
Niech (
a
n
) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie
q
.Suma
n
początkowych wy-
razów tego ciągu wynosi:
S
n
=
a
1
1−
q
n
1−
q
<1,toprzy
n
dążącym do nieskończoności wyrazy ciągu
q
n
zbliżają się do
0, zatem otrzymujemy:
|
q
|
lim
n
S
n
=lim
n
→∞
a
1
1−
q
n
1−
q
=
a
1
1−
q
1
1
1
1
Gdy
→∞
Suplement do podręcznika „Mateamatyka II. Zakres rozszerzony”
III
FUNKCJE WYKŁADNICZE I LOGARYTMICZNE
Potęgi o wykładnikach
rzeczywistych
Ćwiczenie A.
Przypomnij sobie, jak oblicza się potęgi o wykładnikach wymiernych i oblicz:
4
2
27
3
3
−4
9
0,5
16
−1,5
Wiesz już, jak oblicza się potęgi o wykładnikach, które są liczbami wymiernymi.
Możemy również rozpatrywać potęgi o podstawach dodatnich, których wykładnik
jest dowolną liczbą rzeczywistą, także niewymierną.
Zastanówmy si
ę
na przyk
ła
d, jaką liczbę mogłaby oznaczać potęga o podstawie 3
iwykładniku
√
2, czyli 3
√
2
.
Poniżej zapisano kilka kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby
√
2.
√
2 = 1,414213556
...
Liczbę 3
√
2
możemy prz
yb
liżać, zastępując wykładnik potęgi coraz dokładniejszymi
przybliżeniami liczby
√
2.
√
2
≈
1,4, więc 3
√
2
≈
3
1,4
≈
4,655367
...
√
2
≈
1,41, więc 3
√
2
≈
3
1,41
≈
4,706965
...
√
2
≈
1,414, więc 3
√
2
≈
3
1,414
≈
4,727695
...
≈
4,728733
...
W ten sposób możemy obliczać 3
√
2
z coraz większą dokładnością. Wykonując
kolejne obliczenia, zauważylibyśmy, że liczby 3
1,4
,3
1,41
,3
1,414
,
...
coraz bardziej
pr
z
ybliżają się do liczby 4,72880438783741494
...
Przyjmujemy więc, że potęga
3
√
2
√
2
≈
1,4142, więc 3
√
2
≈
3
1,4142
jest równa tej liczbie, czyli:
3
√
2
= 4,72880438783741494
...
Ćwiczenie B.
Ustal, która z dwóch podanych liczb jest większa:
a) 2
π
czy 2
3
b) 10
√
3
czy 10
√
5
c)
1
3
√
2
czy
1
3
2
d) 0,7
√
15
czy 0,7
4
Wartości potęg o wykładnikach niewymiernych można szacować za pomocą potęg
o wykładnikach wymiernych. Warto przy tym pamiętać, że gdy podstawa jest liczbą
większą od 1, to im większy wykładnik tym większa potęga. Gdy podstawa potęgi
jest liczbą dodatnią mniejszą od 1, to im większy wykładnik tym mniejsza potęga.
Suplement do podręcznika „Mateamatyka II. Zakres rozszerzony”
IV
Liczbę 2
√
10
można oszacować w nastę-
pujący sposób:
Ponieważ 3 <
√
10 < 4,
więc
2
3
<2
√
10
<2
4
,
Liczbę
2
√
10
możemy oszacować tak:
Ponieważ 3 <
√
10 < 4,
więc
2
4
<
2
√
10
<
2
3
,
czyli
zatem
8<2
√
10
< 16.
1
16
<
2
√
10
<
1
8
.
Ćwiczenie C.
Oszacuj w opisany powyżej sposób liczby:
a) 3
√
10
b) 2
√
5
c)
1
3
√
7
W praktyce wartości potęg o wykładnikach niewymiernych będziemy szacować,
korzystając z przybliżeń dziesiętnych wykładników. Na przykład:
2
π
≈
2
3,14
≈
8,82
2
√
5
≈
2
2,24
≈
4,72
Prawa działań na potęgach o wykładni-
kach wymiernych obowiązują także dla
potęg o wykładnikach rzeczywistych.
Dla
a
>0,
b
>0 oraz
s
,
t
∈
a
s
·
a
t
=
a
s
+
t
a
s
:
a
t
=
a
s
−
t
W poniższych przykładach przypomi-
namy, jak korzystać z tych praw przy
przekształcaniu wyrażeń.
a
s
)
t
=
a
st
(
ab
)
s
=
a
s
b
s
a
b
s
=
a
s
b
s
przykłady
3
−2
√
2
·
3
3
√
2
=3
−2
√
2+3
√
2
=3
√
2
25
√
3+1
5
2
√
3
5
=
(5
2
)
√
3+1
5
2
√
3+1
=5
(2
√
3+2)−(2
√
3+1)
=5
(9
√
2)
2
π
·
(27
√
4)
−
π
=9
2
π
·
(
√
2)
2
π
·
27
−
π
·
(
√
4)
−
π
=(3
2
)
2
π
·
(2
2
)
2
π
·
(3
3
)
−
π
·
(2
3
)
−
π
=
·
2
3
π
=(3
√
2)
π
=3
4
π
·
3
−3
π
·
2
π
·
2
−
3
π
=3
π
2
3
√
3
(4
1+
√
3
)
1−
√
3
·
=
(2
3
)
2−
√
3
2
3
√
3
4
(1+
√
3)(1−
√
3)
·
=
2
6−3
√
3
·
2
3
√
3
=
2
−4
=2
6−(−4)
=2
10
4
−2
(
·
8
2−
√
3
2
6
[ Pobierz całość w formacie PDF ]