Klasa 2 - poziom podstawowy, Suplementy do książek
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Suplement do podręcznika „Matematyka II. Zakres podstawowy”
Suplementdopodrêcznika
MatematykaII.Zakrespodstawowy
Trecizmienionelubdodane
numerystronwstarszychwydaniach
numerystron
wsuplemencie
II
–III
dodanotemat
Prosteiokrêgi
IV
–
VIII
dodano dzia³
Funkcjewyk³adniczeilogarytmy
IX
–
XLI
210
XLII
Materia³pochodzizestronywww.gwo.pl/nowe_wersje
143144
Suplement do podręcznika „Matematyka II. Zakres podstawowy”
RÓWNANIE PROSTEJ
II
Wiemy już, że każdą prostą w układzie współrzędnych można opisać równaniem
w postaci ogólnej
Ax
+
By
+
C
= 0. Proste, które nie są prostopadłe do osi
x
,można
także opisać za pomocą równania postaci
y
=
ax
+
b
. Takie równanie nazywamy
równaniem kierunkowym prostej
.
Ćwiczenie C.
a) Zapisz podane równania prostych w postaci kierunkowej.
2
x
−
y
+3=0
x
+3
y
−1=0 2
x
+
y
=0
b) Podaj przykład takiego równania prostej w postaci ogólnej, którego nie można prze-
kształcić do postaci kierunkowej.
c) Przez które ćwiartki układu współrzędnych przechodzi prosta
y
=
ax
+1, gdy
a
>0,
a przez które, gdy
a
<0?
Współczynnik
a
nazywamy
współczynnikiem kierunkowym prostej
y
=
ax
+
b
.
Nazwa ta wynika stąd, że współczynnik ten decyduje o kierunku prostej. Omówi-
my teraz, jaki jest związek między kątem nachylenia do osi
x
prostej w układzie
współrzędnych a współczynnikiem kierunkowym prostej.
Kątem nachylenia prostej do osi
x
nazywamy kąt nieujemny i mniejszy od 180
◦
,
którego początkowe ramię jest równoległe do osi
x
, a końcowe leży na tej prostej.
Niech
α
oznacza kąt nachylenia prostej
y
=
ax
+
b
do
osi
x
. Pamiętasz zapewne, że proste o tym samym
współczynniku kierunkowym są równoległe. W ta-
kim razie prosta
y
=
ax
jest nachylona do osi
x
także pod kątem
α
.
Gdy
a
<0,toprosta
y
=
ax
+
b
jest nachylona do osi
x
pod kątem rozwartym.
Gdy 0 <
a
<1,toprosta
y
=
ax
+
b
jest nachylona do
osi
x
pod kątem ostrym.
Ćwiczenie D.
Podaj przykład równania prostej, która
jest nachylona do osi
x
pod kątem:
a) ostrym,
b) rozwartym,
c) prostym.
Ćwiczenie E.
a) Która z podanych prostych jest równoległa do prostej
y
=−
3
x
−
3
2
?
y
=
2
3
x
−2
x
−3
y
+1=0
2
y
+
2
3
x
−3=0
4
x
+6
y
−5=0
b) Narysuj prostą
y
=0,6
x
. Oblicz tangens kąta nachylenia tej prostej do osi
x
. (Znajdź
długości boków odpowiedniego trójkąta prostokątnego).
c) Oblicz tangens kąta nachylenia prostej 3
x
−5
y
+10=0 do osi
x
.
Suplement do podręcznika „Matematyka II. Zakres podstawowy”
III
FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA
Zastanówmy się teraz, jaka jest zależność między współczynnikami kierunkowymi
dwóchprostychprostopadłych.
Załóżmy, że prosta o równaniu
y
=
a
1
x
+
b
1
jest
prostopadła do prostej
y
=
a
2
x
+
b
2
.Wynikastąd,że
proste
y
=
a
1
x
i
y
=
a
2
x
też są prostopadłe (patrz
rysunek obok). Proste
OC
i
OA
są prostopadłe, więc
jeśli
BOC
=
α
,to
AOB
=90
◦
−
α
.Stądwynika,że
OAB
= 180
◦
−90
◦
−(90
◦
−
α
)=
α
.Tangenskąta
α
można obliczyć na dwa sposoby:
z trójkąta
OBC
:tg
α
=
|
BC
|
|
OB
|
=
a
1
=
a
1
,
a
2
(zwróć
uwagę, że
a
2
< 0, dlatego długość odcinka
BA
wynosi −
a
2
). Zatem:
a
1
=−
a
2
.
BA
|
=
1
−
a
2
=−
1
Z powyższych rozważań wynika, że:
Prosta y
=
a
1
x
+
b
1
jest prostopadła do prostej
y
=
a
2
x
+
b
2
,gdya
2
=−
a
1
.
Ćwiczenie F.
Znajdź równanie kierunkowe prostej prze-
chodzącej przez początek układu współrzędnych i pro-
stopadłej do prostej o równaniu 3
y
−7
x
+5=0.
Ćwiczenie G.
a) Która z podanych prostych jest prostopadła do prostej
y
=−
2
3
x
−
3
5
?
5
3
x
+
2
3
2
x
+3
y
−4=0
y
=1,5
x
−10
y
+15
x
−1=0
y
=
Wiele problemów geometrycznych dotyczących prostych leżących w układzie współ-
rzędnych możemy rozstrzygnąć, rozwiązując odpowiednie równania lub układy
równań. Na ogół wygodniej jest posługiwać się przy tym postacią kierunkową rów-
nania prostej. Oto przykłady różnych zagadnień geometrycznych.
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty
A
= (−2, 5) i
B
= (6, −4).
Ponieważ punkty te nie leżą na prostej prostopadłej do osi
x
, przyjmujemy, że szukane
równanie ma postać
y
=
ax
+
b
. Współczynniki
a
i
b
znajdujemy, rozwiązując układ
równań:
5=−2
a
+
b
−4 = 6
a
+
b
Znajdź równanie prostej prostopadłej do prostej
y
=
2
5
x
−
2
3
i przechodzącej
przez punkt
P
= (−4, 3).
Równanie szukanej prostej ma postać
y
=−
2
x
+
b
. Aby wyznaczyć współczynnik
b
,
wystarczy rozwiązać równanie 3 = −
2
·
(−4) +
b
.
z trójkąta
OAB
:tg
α
=
|
OB
|
|
Suplement do podręcznika „Matematyka II. Zakres podstawowy”
100
Proste i okręgi
Korzystając z metod algebraicznych, można rozwa-
żać różne zagadnienia geometryczne. Na przykład
punkty wspólne prostej i okręgu można znaleźć,
rozwiązując odpowiedni układ równań.
Ćwiczenie A.
Znajdź współ-
rzędne punktów wspólnych:
a) okręgu
x
2
+
y
2
=4zprostą
y
=3
x
,
b) okręgu
x
2
+
y
2
=1zokrę-
giem (
x
−2)
2
+
y
2
=2.
W poniższych przykładach pokazujemy, jak na ję-
zyk algebry można „przełożyć” nieco bardziej skom-
plikowane problemy geometryczne.
przykład
Znajdź równanie prostej stycznej do okręgu (
x
−1)
2
+(
+6)
2
= 10 w punkcie
P
= (2, −3).
wykonujemy rysunek pomocniczy; współrzęd-
ne środka okręgu odczytujemy z równania;
szukana styczna (prosta
k
) jest prostopadła
do prostej
PS
a
2
=
−3+6
2−1
=3
obliczamy współczynnik kierunkowy prostej
PS
a
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
a
1
=−
1
a
2
=−
1
3
obliczamy współczynnik kierunkowy prostej
prostopadłej do prostej
PS
Równanie prostej
k
:
y
=−
1
3
x
+
b
1
P
= (2, −3)
−3 = −
1
, więc jego współ-
rzędne spełniają równanie tej prostej
P
leży na prostej
k
3
·
2+
b
1
b
1
=−
7
3
y
=−
1
3
x
−
7
3
zapisujemy równanie prostej
k
y
;korzystamyzewzoru
punkt
Suplement do podręcznika „Matematyka II. Zakres podstawowy”
PROSTE I OKRĘGI
V
przykład
Znajdź równanie prostej równoległej do prostej
y
=3
x
−1 i stycznej do okręgu
(
x
−2)
2
+
y
2
=5.
wykonujemy rysunek pomocniczy
Równanie kierunkowe szukanej prostej
ma postać:
szukana prosta jest równoległa do prostej
y
=3
x
y
=3
x
+
b
(
x
−2)
2
+
y
2
=5
prosta jest styczna do okręgu, gdy ma z nim
jeden punkt wspólny, czyli układ równań po-
winien mieć jedno rozwiązanie
y
=3
x
+
b
(
x
−2)
2
+(3
x
+
b
)
2
=5
x
2
−4
x
+4+9
x
2
+6
bx
+
b
2
=5
10
x
2
+(6
b
−4)
x
+
b
2
−1=0
układ równań ma jedno rozwiązanie, gdy
otrzymane równanie kwadratowe ma jeden
pierwiastek, czyli gdy ∆ = 0
∆=0
∆=(6
b
−4)
2
−4
·
10(
b
2
−1)=36
b
2
−48
b
+16−40
b
2
+40=
=−4
b
2
−48
b
+56
−4
b
2
−48
b
+56=0
b
2
+12
b
−14=0
∆
1
=144 + 56 = 200
∆
1
=10
√
2
obliczamy, dla jakich wartości
b
zachodzi
równość ∆ = 0
b
1
=
−12 − 10
√
2
2
=−6−5
√
2
−12 + 10
√
2
2
b
2
=
=5
√
2−6
Odp. Warunki zadania spełniają dwie proste
y
=3
x
−6−5
√
2i
y
=3
+5
√
2−6.
−1, ma więc współczynnik kierunkowy
równy 3
x
[ Pobierz całość w formacie PDF ]